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Il numero della creazione: Phi o sezione aurea

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Il numero della creazione: Phi o sezione aurea

Messaggio Da matrona il Ven Nov 13, 2009 1:25 pm

Esiste un ristretto gruppo di numeri che sono “speciali”, in quanto hanno fatto scervellare parecchio, molte persone nell'era antica..
Questi numeri sono gli “irrazionali”, cioè numeri che non possono esser scritti ne come interi, ne come frazione e i più famosi di questa categoria troviamo il Pi greco e il phi (sezione aurea).
Il phi (pultroppo sulla mia tastiera non ne ho il simbolo, che è un cerchio tagliato da parte a parte), non è altro che la Sezione Aurea: cioè 1,61803....

Che cos'è?
La prima e chiara definizione della sezione aurea, fu formulata dal fondatore della geometria, in quanto sistema deduttivo: Euclide.
Inizialmente, Euclide la chiamava “proporzione estrema e media” e la descrive:
<< Si può dire che una linea retta sia stata divisa secondo la proporzione estrema e media quando l'intera linea sta alla parte maggiore così come la maggiore stà alla minore>>

quindi con una formula matematica potremmo dire:
AB:BC = AC:AB = 1,61803...
Dato che Phi è un numero irrazionale, questo significa che non possono eristere segmenti AB o BC misurabili con numeri interi (1,2,3,4,...) o frazzionabili(1\2, 3\4, 7\9,...)

Nel periodo ellenico, per abbreviare il nome di questa proporzione, la si chiamò con la lettera greca tau (t), dal greco tomè, <<taglio o sezione>>; ma all'inizio del XX secolo il matematico Mark Barr, sostitui la tettera tau con la phi, per rendere omaggio al grande scultore Fidia, che usò questa proporzione nelle sue statue e nelle sue architetture

Legata alla scoperta del Phi, si collega anche la scoperta dell'incommensurabilità, cioè quando due grandezze omogenee si dicono incommensurabili quando non ammettono una grandezza sottomultipla comune
consiglio
:
http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/matpropor/le_grandezze_inccomm.htm
http://www.giorgiotave.it/wikigt/os/Sezione_aurea


Ultima modifica di matrona il Dom Nov 22, 2009 2:07 pm, modificato 5 volte
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Re: Il numero della creazione: Phi o sezione aurea

Messaggio Da matrona il Ven Nov 13, 2009 1:38 pm

dove la si trova?

Il Phi,ha suscitato per millenni un fascino quasi mistico e che non ha toccato solo campi matematici, ma anche artistici, scentifici (botanica, astronomia, ecc..), religiosi, …

In geometria sono famosi col termine “aureo”, o che ne fanno uso, elementi alla base della costruzione del mondo (cerchio, triangolo, quadrato) o loro discendenti.
Questi elementi geometrici sono stati uttilizzati dall'uomo e dalla natura come base di qualsiasi costruzione.
Infatti, se per esempio si dovesse tagliare una mela da parte a parte, si noterebbe che i semi hanno una disposizione pentacolate, come i petali di un fiore ho hanno una distribuzione a triangolare o pentacolare (a seconda dei numeri dei petali)



triangolo isoscele (36°, 72°, 72°)
Se dentro a questo triangolo isoscele ne costruissimo un'altro con gli stessi angoli, possiamo notare che la proporzione di AC:BC=BD:DC (il primo triangolo) è phi, ed anche la proporzione di AC:AD=AD:DC (il 2° triangolo) è Phi


triangolo isoscele (108°,36°, 36°)
Il Phi si riscontra anche in BC:CE = BE:BC.
Questo triangolo in particolare, è stato il trampolino di lancio, di una teoria sulla piramide di Cheope della piana Giza, dove si ritene che essa fosse stata costruita sulla base del Phi



Il pentagono stellato è sicuramente la figura geometrica che più di ogni altra rappresenta, all'infinito, la sezione aurea.
E' forse per questo motivo che questo fu scelto come simbolo della scuola pitagorica.
Il Phi risulta connessa con la geometria del pentagono: in particolare il rapporto aureo è pari al rapporto fra il lato BC e la sua diagonale AB, ma anche tra AB e BD, ed in un'infinità di relazioni simili, se immaginiamo che nel pentagono centrale possiamo iscrivere una nuova stella a cinque punte, la quale produrrà a sua volta un nuovo pentagono centrale, in cui ripetere l'iscrizione del pentagramma e così via, seguendo uno schema infinito.



Il rettangolo aureo ha come caratteristica unica, che il lato maggiore e quello minore sono in rapporto in phi, ma come il pentagramma, anche questo si può ripetere all'infinito.
Un'altra caratteristica, è che se tracciamo delle diagonali in ciascuna coppia di triangoli “genitore” e “figlio”, si riscontra che tutte passano per il medesimo punto,che il matematico Clifford A.Pickover, chiamò <<l'occhio di Dio>>

sito di architettura del partenone e rettangolo aureo:http://images.google.it/imgres?imgurl=http://www.apav.it/mat/arte/pittura/img/piantaparte.gif&imgrefurl=http://www.apav.it/mat/arte/pittura/html/aurea_archit.htm&usg=__29YZa0oEkov77XIvJYV5XUwNGWw=&h=444&w=638&sz=12&hl=it&start=6&sig2=guNbNALEmEWrpOy9F65Z7w&um=1&tbnid=6o54aDsKEGu4hM:&tbnh=95&tbnw=137&prev=/images%3Fq%3Drettangolo%2Baureo%26hl%3Dit%26safe%3Doff%26rlz%3D1T4PCTC_itIT345IT346%26sa%3DX%26um%3D1&ei=PEv9SuSlCoOUsAbTxo38Cw



La spirale logaritmica e il rapporto aurico è assai stretto, se si tiene conto che per costruirla si parte dal rettangolo aureo.
La particolarita di questa spirale e che è anche "equiangola", cioè se tiriamo una diagonale che taglia la spirale da parte a parte a parte e che passa per "l'occhio di Dio", si può notare che gli angoli costruiti sono uguali su tutte le curve della spirale.

Questa spirale viene usata anche dai falchi per la caccia, dalle conchiglie dei paguri, o dalle galassie


Ultima modifica di matrona il Sab Nov 14, 2009 4:33 pm, modificato 2 volte
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Re: Il numero della creazione: Phi o sezione aurea

Messaggio Da matrona il Ven Nov 13, 2009 2:28 pm

Una domanda ricorente delle galassie a spirale, è: come può una configurazione a spirale mantenersi per lunghi periodi di tempo?
Poichè le parte interne del disco ruotano più velocemente di quelle esterne, qualunque schema generale che abbia questo schema si distruggerebbe o si disperderebbe nel cosmo.
La longevità delle braccia a spirale sta nelle onde di densità e delle forze di gravità, che grazie a ciò impedisce l'autodistruzione

In matematica, la migliore rappresentazione del Phi, la troviamo nella sequenza di Fibonacci.
Se dividiamo un numero di Fibonacci, con il suo consecutivo, il risultato si avvicina sempre di più, al Phi, man mano che i denominatori e i numeriatori aumentano.
Ess:
3\2 = 1.5
5\3 = 1.666
8\5 = 1.6
13\8 = 1.625
21\13 = 1,61538...
34\21 = 1,61905...
55\34 = 1,61765...
89\55 = 1,61818...
144\89 = 1,61798...
233\144 = 1,61806...
377\233 = 1,61803...
ecc...

La sequenza di Fibonacci, e di conseguenza il Phi, è stata utilizzata per molti secoli nei più svariati campi artistici\scentifici.

Nella chimica moderna, ritroviamo il Phi, nella struttura dei quasi-cristalli, ma questa scopertà fu grazie ad Roger Penrose, che ha scoperto 2 schemi di coppie entrambe costruite col il Phi, capaci di coprire ordinatamente un piano nonostante la simmetria quintupla: dardi e aquiloni (con costruzione di triangoli isosceli aurei); rombi larghi e rombi stretti (la loro costruzione ha il Phi nella diagonale più corta).

Nella matematica, mi sono dimenticata di presentarvi altre aplicazioni del Phi, nei numeri frattali (utilizzati per determinate lunghezze non lineari), nel calcolo delle probabilità, e nei poliedri platonici.

Nell'arte, la sequenza di Fibonacci e il Phi, si presume che sia stato utilizzato non solo nella pittura, come proporzione del bello estetico e come proporzione anatomica, come suggeriscono alcuni studi di Leonardo Da Vinci, ma anche nella musica, con i disegni preparatori dei grandi violini di Stradivari, o come nella battitura e la scelta di determinate note per i pianoforti;
La sequenza di Fibonacci la trovaimo anche nella poesia, sotto forma di metrica, ritmo e schema dei versi, come presentano le poesie sanscrite di Acarya Virahanka, Gopala e Acarya Hemacandra (perdonate la scrittura, ho seri limiti di tastiera), ma anche nella letteratura, e cito come esempio "L'Eneide" di Virgilio, che è suddiviso, nelle sue parti minori, rispetto quelle maggiori, con il rapporto aureo.

Queste sono solo alcuni esempi di Phi nella pittura:
Nell’acquarello “Camposanto di S. Jans” presso Neurenber di Albrecht Durer
Nell’opera “Scuola serale” di Gerard Dou
Nell’opera “I sindaci della corporazione della luna” di Rembrandt
Nell’opera ”Il sonno del Bambino Gesù” di Bernardino Luini
Nell’opera “La parade du cirq” del pittore Georges-Pierre Seurat
Nell’opera “La Venere” di Botticelli (1445-1510)
Nell’opera “Il Sacramento dell'Ultima Cena” di Salvador Dalì del 1955
Nell’opera “Vergine delle Rocce” di Leonardo da Vinci
Nell’opera “Gioconda” di Leonardo da Vinci
Nell’opera “L’Ultima cena” di Leonardo da Vinci
Nell’opera “L’uomo di Vitruvio” di Leonardo da Vinci
Nell’opera “San Girolamo” di Leonardo da Vinci (1483)
Nell’opera “Broadway Bolgie Woogie “ di Pierre Mondrian (1942-43)
Nell’opera “Composition with Grid 1“ di Pierre Mondrian (1919)


Molti architetti, come i pittori, gli scultori e quelli delle arti minori, hanno utilizzato il Phi per rendere più belle ed armoniose le proprie opere, ma in architettura, uno in particolare si è distino: le Corbusier



Le misure in altezza ricavate dal Modulor sono finalizzate alla progettazione degli spazi residenziali e degli oggetti di uso comune, come ad esempio tavolini, sedie, sedute del letto, altezze entrate e finestre...

cm 27 e 43 per due tipi di sedile
cm 70 per il bracciolo
cm 86, 113 e 140 per tre tipi di appoggio
cm 183 per l'uomo in piedi
cm 226 per l'uomo a braccio alzato

Alcuni esempi del Phi, nell'architettura
Nel Partenone sull’Acropoli di Atene ( 440/430 a.C. – Fidia, Ictino e Callicrate)
Nel tempio di Atena di Paestum (510 – 500 a. C.)
Nell’Arco di trionfo di Costantino a Roma ( III d.C.)
Nel Castel del Monte ad Andria in Puglia (1240-1250)
Nel Castello di Ruggiero II° di Aversa (1135)
Nella Certosa di Pavia
Nella cattedrale di Friburgo
Nella cattedrale di Amiens (XII-XIII secolo)
Nella grande piramide di Cheope
Nella piramide di Teotiuacan in Messico
Nella Chiesa dei Santi Pietro e Marcellino di Seligensdadt
Nella Chiesa di Chiaravalle della Colomba
Nella Chiesa di “S. Caterina” di Galatina (timpano del portale)
Nella “S. Maria della Scala” di Noci (fastigio e campanile a vela)
Nella Chiesa di “S. Domenico” di Taranto (portale)
Nella Chiesa di “Ognissanti” di Valenzano in Puglia (la pianta, gli arconi)
Nel Monastero di Santa Croce di Fonte Avellana (XI-XII secolo)
Nel Palazzo Ducale di Venezia
Nella facciata del Palazzo dell’ONU a New York
nelle decorazioni e nelle facciate di religione islamica e induista.


Ultima modifica di matrona il Gio Nov 19, 2009 1:27 am, modificato 5 volte
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Re: Il numero della creazione: Phi o sezione aurea

Messaggio Da matrona il Sab Nov 14, 2009 12:49 am

Il Phi, lo si può ritrovare anche nel corpo umano, come abbiamo già visto nel Modulor di Le Corbusier, ma anche nel volto umano


Nella figura possiamo individuare numerosi rapporti aurei:
A/a= tra l'altezza e larghezza del viso.
B/b= posizione della linea degli occhi rispetto al mento ad alla fronte.
C/d= posizione della bocca rispetto al mento ed agli occhi.
D/d= altezza e larghezza del naso.
E/e= lunghezza ed altezza del profilo della bocca.
F/f= larghezza degli occhi e la loro distanza.
H/h= distanza degli occhi rispetto al centro di simmetria del viso.

Ma il Phi, lo troviamo anche come per esempio, nelle ossa delle dita della mano (ogni falange è proporzionale a qulla superiore più corta).


Il Phi si trova anche nella Flora, come dimostrano le squame delle pigne, le protuberanze dell’ananas, i semi del girasole, nei petali e foglie dei fiori e piante, nei semi dei girasoli,ecc..
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Re: Il numero della creazione: Phi o sezione aurea

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